Թեմա՝ Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը, բեկյալ թեմաների կրկնողություն:

Թեմա՝ Զուգահեռ ուղիղների հեռավորությունը, բեկյալ թեմաների կրկնողություն:

1. AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին։ Գտնել այդ ուղիղների հեռավորությունը, եթե ∠DAC = 60^o, AD = 10 սմ։

10սմ:2=5սմ

2․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է BD կիսորդը։ D կետի և BC ուղղի միջև հեռավորությունը 8 սմ է։ Գտեք B գագաթի հեռավորությունը AC ուղղից։

8սմx2=16սմ

3. Գծել փակ բեկյալ և բաց բեկյալ։

4․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է երեք օղակից։

 5․ Գծել փակ բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

6․ Գծել բաց բեկյալ, որը կազմված է չորս օղակից։

7․ Գծել երկու զուգահեռ ուղիղներ, որոնց հեռավորությունը լինի 5 սմ։

Թեմա՝ Պատկերացում քառանիստի մասին։

Քառանիստ  կոչվում է այն բազմանիստը, որի նիստերը չորս եռանկյուններ են:

Քառանիստն ունի 4 նիստ, 4 գագաթ, 6 կող:

Եռանկյուններից մեկը կոչվում է քառանիստի հիմք, մնացած երեքը՝ կողմնային նիստեր:

Գոյություն ունեն քառանիստի տարբեր տեսակներ: Ամենահաճախը հանդիպում են դրանցից հետևյալ երեքը (տես ներքևի նկարները): 

—  հավասարանիստ՝ քառանիստ, որի բոլոր չորս նիստերը հավասար եռանկյուններ են,

—  կանոնավոր եռանկյուն բուրգ՝ հիմքում հասարակողմ եռանկյուն է, իսկ կողմնային նիստերը հավասար հավասարասրուն եռանկյուններ են, 

—  կանոնավոր քառանիստ՝ բոլոր չորս նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են:

Կանոնավոր քառանիստի բոլոր կողերի երկարությունները և նիստերի մակերեսները հավասար են:

Առաջադրանքներ։

1․Քառանիստի վերաբերյալթվարկված պնդումներից ո՞րն է ճիշտ: Ընտրել ճիշտ պնդումը:

• Քառանիստի լրիվ մակերևույթը չորս քառանկյուններ են:
• Քառանիստի կողմնային մակերևույթը երեք եռանկյուններ են:
• Քառանիստի յուրաքանչյուր նիստ ուղղանկյուն է:

2․ Հետևյալնկարներից ո՞րն է քառանիստը: Նշել ճիշտ տարբերակը:

ա)

բ)

գ)

Ա-ն

3. Ի՞նչ հատկություններ ունի հետևյալտարածաչափական պատկերը:

ա) Անվանումը՝

• քառանիստ
• կանոնավոր քառանիստ
• հավասարանիստ
• կանոնավոր եռանկյուն բուրգ
• կանոնավոր զուգահեռանիստ

բ) Նկարագիրը՝ Բոլոր չորս նիստերը ․․․․․ են:

գ) Հատկությունները՝

• կողմնային նիստերը ուղղահայաց են հիմքին
• բոլոր կողերը հավասար են
• բոլոր նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• բոլոր նիստերը եռանկյուններ են
• բոլոր կողմնային կողերը հավասար են
• չունի զուգահեռ նիստեր
• հիմքում հավասարակողմ եռանկյուն է
• բոլոր կողմնային նիստերը հավասար եռանկյուններ են
• ունի երկու հիմք

4․ Տրված է TPRS քառանիստը: Որոշել բոլոր կողերի գումարը, եթե քառանիստը կանոնավոր է և նրա մի կողի երկարությունը 7.5 սմ է:

7.5 * 6 = 45

5․ Կանոնավոր քառանիստի կողը 18 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի պարագիծը։

6 * 18 = 108

6․ Կանոնավոր քառանիստի բոլոր կողերի գումարը 48 սմ է: Հաշվել կանոնավոր քառանիստի կողի երկարությունը։
48 / 6 = 8

Պարապմունք 52

Առաջադրանքներ։

1․ Նշել բեկյալները:

Բեկյալ են հանդիսանում առաջին և երկրորդ պատկերները

2․ Տրված է 3 կետ: Քանի՞ երկու կողմերով տարբեր բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են: Գծել գծագիրը;

3․ Առանց ինքնահատումների փակ բեկյալն ունի 4 կողմ: Կարող են արդյո՞ք նրա կողմերն ունենալ հետևյալ երկարությունները:

ա) 6 սմ, 5 սմ, 4 սմ, 3 սմ; բ) 2 սմ, 2 սմ, 3 սմ, 7 սմ:

4. Տրված են 4 կետեր: Քանի՞ տարբեր բաց ու փակ (բայց առանց ինքնահատումների) բեկյալներ կարելի է գծել, որոնց գագաթները տրված կետերն են:

ա) Երկու կողմերով բեկյալների թիվը՝ 

6

բ) Երեք կողմերով բաց բեկյալների թիվը՝ 

4

գ) Երեք կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 

4

դ) Չորս կողմերով փակ բեկյալների թիվը՝ 

1

5. Նկարում հատվածների միջոցով պատկերված են թվանշաններ: Դրանցից որո՞նք են՝

ա) պարզ բեկյալ — բ,գ,դ,ե,զ,է,ը,ժ
բ) պարզ փակ բեկյալ — ա

6․ Նվազագույնը քանի՞ օղակ ունի՝

բեկյալը-2
փակ բեկյալը-3

7․ Առնվազն քանի՞ օղակ ունի բեկյալը, եթե այն ունի մի ուղղի վրա գտնվող ոչ հարևան օղակներ: Գծագրեք այդպիսի բեկյալ:

Առնվազն 4 օղակ

8․Որքա՞ն կարող է լինել AB հատվածի երկարությունը, եթե նրա ծայրակետերը միացված են բեկյալով, որի օղակների երկարություններն են՝

ա) 6 սմ, 8սմ, 10սմ
բ) 2սմ, 3,1սմ և 5,3սմ:

9․ Բեկյալը բաղկացած է 5 հատվածից որոնց երկարություններն են 2 սմ, 5 սմ, 8 սմ, 11 սմ և 20 սմ։ Հաշվել բեկյալի երկարությունը։

2+5+8+11+20=46սմ

Թեմա՝ Հատվածի միջնուղղահայացի և անկյան կիսորդի հատկությունները։

Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

Թեորեմ: Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

Պետք է ապացուցել, որ AC և BC հատվածները հավասար են: Դրանում կարելի է համոզվել, եթե ապացուցեք, որ հավասար են BEC և AEC ուղղանկյուն եռանկյունները:

Ըստ միջնուղղահայացի սահմանման՝ E անկյունը ուղիղ է և AE=BE: Քանի որ CE-ն ընդհանուր կողմ է, ապա դիտարկվող եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (երկու կողմեր և դրանցով կազմված անկյուններ):

Հետևաբար, հավասար են նաև եռանկյունների ներքնաձիգները:

Անկյան կիսորդի հատկությունը

Անկյան գագաթից ելնող և այն երկու հավասար անկյունների բաժանող ճառագայթը կոչվում է անկյան կիսորդ։

Թեորեմ: Անկյան կիսորդի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ անկյան կողմերից:

Ապացուցենք այս թեորեմը: Կիսորդով առաջացած եռանկյունների անկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Իրոք, մի զույգի անկյունները հավասար են՝ ըստ կիսորդի սահմանման, մյուս զույգի անկյունները 90 աստիճան են (կետի հեռավորությունները ուղիղներից): Հետևաբար, հավասար է նաև երրորդ զույգի անկյունները (անկյունների գումարը պետք է 180° լինի):

Քանի որ դիտարկվող ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգը ընդհանուր է (կիսորդի վրա գտնվող կողմը), ապա եռանկյունները հավասար են` ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի (կողմ և առընթեր երկու անկյուններ): Հետևաբար, հավասար են նաև համապատասխան էջերը:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել միջնուղղահայացի սահմանումը։
Հատվածին ուղղահայաց և նրա միջնակետով անցնող ուղիղը կոչվում է հատվածի միջնուղղահայաց:

2․ Գրել միջնուղղահայացի հատկությունը։

Միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այդ հատվածի ծայրակետերից:

3․ Գրել կիսորդի սահմանումը։

Անկյան գագաթից ելնող և այն երկու հավասար անկյունների բաժանող ճառագայթը կոչվում է անկյան կիսորդ։

4․ Չփռված O անկյան կիսորդի M կետից տարված են այդ անկյան կողմերին ուղղահայացներ՝ MA-ն և MB-ն: Գտի՛ր MA-ն, եթե MB=12:
Անկյան կիսորդի հատկությունից հետևում է որ AM = MB => AM = 12

5․ ABC եռանկյան AA₁ և BB₁ կիսորդները հատվում են M կետում: Գտնել ACM և BCM անկյունները, եթե ∠AMB=136⁰։

<B = 2x
<A = 2Y
x + y = 180 – 136 = 44
<C = 180 – <A – <B = 180 – 2x – 2y
180 – 2 (x + y) = 80 – 2 (x + y) = 80 – 2 * 44
180 – 88 = 92
<C = 92
Անկյան Կիսորդները կատվում են 1 կետում => CM կիսորդ 5 => <ACB = <BCM = <C / 2 = 92 / 2 = 46

6․ ABC եռանկյան BC կողմի միջնուղղահայացը D կետում հատում է AC կողմը: Գտնել՝

ա) AD-ն և CD-ն, եթե BD=5սմ, AC=8,5սմ,
Ըստ միջնուղղահայացի հատկուցյան ADB = DC => CD = 5 => AD = AC – DC = 8.5 = 5 = 3.5

բ) AC-ն, եթե BD=11,4սմ, AD=3,2 սմ:
Ըստ միջնուղղահայացի հատուցյան ABD = DC => DC = 11 => AC = AD + DC = 3.2 + 11 = 14.2

7․ BK-ն ABC անկյան կիսորդն է; Գտնել Kկետի հեռավորությունը անկյան կողմերից, եթե BK=14 սմ, ∠B=60^օ:
<K,BK = <KBK2 = 60 / 2 = 30 = <KK2 = KB / 2 = 14 / 2 = 7
KK1 = KB / 2 = 14 / 2 = 7

8. Ըստ գծագրի տվյալների՝ գտնել CAD և ADE անկյունները․

Ըստ անկյան կիսորդի հատկության և նրան որ CD = DE => AD կիսորդ է
<A = 180 – 90 – 40 = 50
AD կիսորդ է => <CAD = <DAE = <A / 2 = 50 / 2 = 25
<ADE = 180 – 90 – 25 = 65

9. ABC եռանկյան ∠A և ∠B անկյունների կիսորդները հատվում են K կետում: Այդ կետը միացված է C գագաթի հետ: Որոշել ∠BCK-ն, եթե  ∠AKB=130°-ի:
x + y + 130 = 180 – 130 = 50
<A = 2y
< B = 2x
<A + <B + <C = 180
2y + 2x + <C = 2 (x + y) + <C = 2 * 50 + <C = 100 + <C = 180 => <C = 180 – 100 = 80
Անկյան կիսորդները հատվում են 1 կետում => CK կիսորդ է =><BCK = <C / 2 = 80 / 2 = 40

Թեմա՝ Կետի հեռավորությունը ուղղից;

Առաջադրանքներ։

1․Նշել այն հատվածը, որը X կետի հեռավորությունն է a ուղղից։

XG

2․Հեռավորությունը a և b զուգահեռ ուղիղների միջև 19 սմ է, իսկ հեռավորությունը a և c զուգահեռ ուղիղների միջև՝ 34 սմ:

ա Որոշել b և c ուղիղների փոխադարձ դասավորվածությունը:
A || B, A || C => B || C

բ Որքա՞ն է հեռավորությունը b և c ուղիղների միջև:
34 – 19 = 15

3․ T կետից ուղղին տարված են TP ուղղահայացը և TR թեքը: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը և որոշել T կետի հեռավորությունը ուղղից, եթե ուղղահայացի և թեքի երկարությունների գումարը 32 սմ է, իսկ դրանց տարբերությունը՝ 2 սմ:

TP + TR = 32
TR – TP = 2
TP + TR + TR – TP = 34
2TR = 34
TR = 34 / 2 = 17
TP = 32 – 17 – 15

4․ Հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AM=29 սմ երկարությամբ միջնագիծը: Հաշվել M կետի հեռավորությունը AC կողմից: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը։

2MH = 2AM
2MH = 29
MH = 29 / 2
MH = 14.5

5․ ABC հավասարասրուն եռանկյան AB և BC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվ
ում են M կետում: BM ուղիղը հատում է AC հիմքը N կետում: Որոշել  AN−ը, եթե AC=50 սմ:
50 / 2 = 25

6․ ABC հավասարակողմ եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: D կետի և AC ուղղի միջև հեռավորությունը 10 սմ է: Գտեք A գագաթի հեռավորությունը BC ուղղից:
<CAB = 60
<CAD = 30
AD = 2 * 10 = 20

7․ CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 33 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 5 սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:
CD + CE = 33
CE – CD = 5
CE = 38 / 2
CE = 19
CD = 33 – 19
CD = 14

8․ CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտնել ∠ECF-ը, եթե ∠D=64⁰:
180 – 64 = 116
116 / 2 = 58
<E = <C = 58
180 – 90 – 64 = 26
<FCD = 26
58 – 26 = 32
<ECF = 32

Պարապմունք 48

1. Կետից տարված են ուղղին ուղղահայաց և թեք, որոնց երկարությունների գումարը 16 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 2 սմ: Գտեք կետի հեռավորությունը ուղղից:
x = 16 – y
16 -y -y = 2
2y = 18
y = 9

 2. CDE ուղղանկյուն եռանկյան CE ներքնաձիգի և CD էջի գումարը 31 սմ է, իսկ տարբերությունը՝ 3սմ: Գտեք C գագաթի հեռավորությունը DE ուղղից:

CE = 31 – DC
31 – CD – CD = 3
34 = 2CD
CD = 17

3. Գտնել C կետի հեռավորությունը a ուղղից։

14 /2 = 7

4․ Գտնել B կետի հեռավորությունը AC-ից։

8 / 2 = 4
A = 60

5. Գտնել B կետի հեռավորոիթյունը a ուղղից։

6. CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտեք ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰:
180 – 54 = 126
126 / 2 = 63
90 – 63 = 27

7. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 7,6 սմ է, իսկ եռանկյան սրունքը՝ 15,2 սմ: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:

15.2 / 7.6 = 2
<A = 30
<C = <A = 30
<B = 180 – 60 = 120

8. ABC հավասարասրուն սուրանկյուն եռանկյան AB և AC սրունքներին տարված բարձրությունները հատվում են M կետում: Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠BMC=140⁰:
<BMC = 140
<MBC = <MCB
180 – 140 = 40
90 – 20 = 70
C = 70
B = 70
180 – 70 – 70 = 40
A = 40

Պարապմունք 47

Առաջադրանքներ:

1. Նկարում BC=AD, BK=DP, DP⟂AB, BK⟂CD: Ապացուցել, որ AP=CK:

Քանի որ APD և CBK ուղղանկյուն եռանկյուները և հավասար էն։ Ըստ չորս երրորդ հայտանիշի AP = CK

2․ Նկարում BC=AD, BD-ն ուղղահայաց է և AB-ին, և CD-ին։ Ապացուցել, որ AB=CD:

BCD Ներ․ BC
Էջ BD
ABD Ներ․ AD
Էջ BD
AD = BC ընդանուր
ABD = BDC

3․ Նկարում ∠BAC= ∠DCA, ∠CAD=∠ACB=90^o: Ապացուցել, որ ∠ADC=∠ABC

<AC Կողմ․ ընդանուր էջ է <ACB և <CAD-ի համար -> Ըստ երկրորդ հայտանիշի <ACB = <CAD -> <ADC = <ABC

4․ Նկարում ∠C=∠D=90^o, ∠ABC=∠DAB: Ապացուցել, որ AD=CB:

<C = <D = 90
<ABC = <DAB
AB Կողմը ընդանուր է <ACB-ի և <ADB-ի համար -> Ըստ երրորդ հայտանիշի <ACB = <ADB -> AD = BC

5․Նկարում BP=CK, AP=KD, ∠APB=∠DKC=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD

<APB = <DKC = 90, BP = CK, AP = KD -> Ըստ առաջին հայտանիշի <APB = <DKC -> AB = CD

6․ ABC եռանկյան մեջ BK բարձրությունը հավասար է BC կողմի կեսին, ∠A=80^o: Գտնել եռանկյան մյուս անկյունները:
<A = 80
AKB = 90
<ABK = 10
BK = BC/2 = <C = 30
<C = 30
<BKC = 90 -> <KBC = 60
<ABK = 10
<KBC = 60 -> <B = 70

Պարապմունք 46

Թեմա՝ Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշները։

Քանի որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան էջերի կազմած անկյունը ուղիղ է, իսկ բոլոր ուղիղ անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունների հավասարության ընդհանուր հայտանիշների միջոցով ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության հայտանիշներ: Այդ երեք հայտանիշներին ավելանում է ևս մի քանի հայտանիշ ուղղանկյուն եռանկյան համար:

Հայտանիշ 1 Եթե ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 2 Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար է մյուս ուղղանկյուն եռանկյան էջին և սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 3  Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգն ու սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան ներքնաձիգին և սուր անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Հայտանիշ 4 Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջն ու ներքնաձիգը համապատասխանաբար հավասար են մյուսի էջին ու ներքնաձիգին, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են:

Առաջադրանքներ։

1․ Լրացնել բաց թողածը.

ա) ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան դիմացի կողմը կոչվում է Ներքնաձիքի

բ) ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է  60 + 30 = 90

գ) ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30⁰-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիքի կեսին։

դ) ուղղանկյուն եռանկյան մեծ կողմը ներքնաձիքը։

2․ ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյուններից մեկը հավասար է 60⁰: Փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար 36 սմ: Գտնել փոքր էջն ու ներքնաձիգը:
36 / 3 = 12
12 * 2 = 24
B = 30

3․ AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AF կիսորդը և AH բարձրությունը: Գտեք AHF եռանկյան անկյունները, եթե ∠B=112⁰:
∠AFH = 180 – 129 = 51
∠HAF = 22 + 17 = 39
∠AHF = 90

4․ Նկարում BP=KD, AP=KC, ∠APB= ∠CKD=90^o: Ապացուցել, որ AB=CD:

Ըստ առաջին հայտանիշի քանի որ ABP ուղանկյուն եռանկյան էջերը հավասար էն KCD ուղանկյուն եռանկյան էջերին AB = CD:

Պարապմունք 44

1․Տրված է DEF ուղղանկյուն եռանկյունը: Որոշել  ∡F-ը, եթե ∡E=28°-ի:

E

90 + 28 = 118
180 – 118 = 62

2․ Տրված է ADB ուղղանկյուն եռանկյունը: BC հատվածը բաժանում է DBA ուղիղ անկյունը երկու մասերի: Կազմել համապատասխան գծագիրը և որոշել ABC անկյունը, եթե CBD անկյունը հավասար է 62°-ի:
90 – 62 = 28

3․ ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ ∡B=30°-ի: Որոշիր AC հիմքի և սրունքին տարված AM բարձրության կազմած անկյունը:

(180 – 30) / 2 = 75
90 – 75 = 15
∡MAC = 15

4․ ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ AC հիմքին տարված է BD բարձրությունը: Բարձրության երկարությունը 11.5 սմ է, իսկ սրունքը՝ 23 սմ: Որոշել եռանկյան անկյունները:

23 / 2 = 11.5
∡A = 30
∡C = 30
∡B = 120

5․Եռանկյան բարձրությունները հատվում են O կետում: Տրված է, որ ∡A=50°,∡B=53°։Որոշել ∡AOB-ն:

∡ABD = 90 – 50 = 40
∡BAE = 90 – 53 = 37
∡AOB = 180 – (37 + 40) = 103
∡A = 37
∡B = 40
∡C = 103

6․ Հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է բարձրություն սրունքին և հիմքին առընթեր անկյան կիսորդը: Որոշել բարձրության և կիսորդի կազմած անկյունը, եթե գագաթի անկյունը՝ ∡B=18°-ի:

7․ ABC եռանկյան ∡A և ∡B անկյունների կիսորդները հատվում են K կետում: Այդ կետը միացված է C գագաթի հետ: Որոշել ∡BCK-ն, եթե ∡AKB=131°-ի:

8․ ABC հավասարակողմ եռանկյան BC կողմի D միջնակետից տարված է AC ուղղին ուղղահայաց՝ DM-ը: Գտնել AM-ը, եթե AB=10սմ:

9․ CE հիմքով CDE հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է CF բարձրությունը: Գտնել ∠ECF-ը, եթե ∠D=54⁰: GEOGEBRA ծրագրով գծել գծագիրը։

Պարապմունք 43

Թեմա՝ Ուղղանկյուն եռանկյան որոշ հատկություններ։

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները

1․Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը հավասար է 90°-ի: 

Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, իսկ ուղիղ անկյանը՝ 90°-ի: Հետևաբար, երկու սուր անկյունների գումարը հավասար է՝ ∡1+∡2=90°

2․Ուղղանկյուն եռանկյան 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է 30°-ի դիմացի էջից):

Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որում ∡A-ն ուղիղ անկյունն է, ∡B=30° և ուրեմն՝ ∡C=60°։ Ապացուցենք, որ BC=2AC

ABC եռանկյանը կցենք նրան հավասար ABD եռանկյունը, ինչպես ցույց է տրված վերևի գծագրում: Ստանում ենք BCD եռանկյունը, որում ∡B=∡D=60°, ուստի՝ DC=BC: Բայց DC=2AC, հետևաբար, BC=2AC

Տեղի ունի նաև հակառակ պնդումը:

3․Եթե ուղղանկյուն եռանկյան էջը հա =վասար է ներքնաձիգի կեսին (կամ ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է էջից), ապա այդ էջի դիմացի անկյունը 30° է:

Առաջադրանքներ։

1․Ուղղանկյուն եռանկյան փոքր անկյունը 30^o  է: Ընտրել ճիշտ տարբերակները:

• Ներքնաձիգի հետ 30^o անկյուն կազմող էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• 60^o  դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Եռանկյան մեծ սուր անկյունը 60^o  է:
• Ներքնաձիգի հետ 60^o  անկյուն կազմող էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է փոքր էջից:
• Ներքնաձիգի հետ 30^o  անկյուն կազմում է էջերից փոքրը :
• Ներքնաձիգը երկու անգամ մեծ է մեծ էջից:

2․Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 45^օ է: Գտնել  ճիշտ պնդումները:

• 45^օ դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:
• Եռանկյան մյուս սուր անկյունը ևս 45^o  է:
• Եռանկյան սուր անկյունները հավասար են:
• Եռանկյան էջերը հավասար են:
• Եռանկյունը չունի 45^o-ից  մեծ անկյուն:
• Էջերի գումարը հավասար է ներքնաձիգին:
• Եռանկյունը չունի 45^o-ից  մեծ սուր անկյուն:

3․Համաձայն ես արդյո՞ք ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի վերաբերյալ բերված պնդումներին:

ա. Ներքնաձիգի կրկնապատիկը մեծ է էջերի գումարից:

• ոչ
• հնարավոր չէ պարզել
• այո

բ. Էջերի գումարը փոքր է ներքնաձիգից:

• հնարավոր չէ պարզել
• այո
• ոչ

4․ Տրված է DEF ուղղանկյուն եռանկյունը: Որոշել ∡F-ը, եթե ∡E=21°-ի:
90 – 21 = 69

5․ Ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 60⁰ է, ներքնաձիգը հավասար է 12 սմ: Գտնել փոքր էջի երկարությունը:

12/2 = 6

6․ Ուղղանկյուն եռանկյան մի անկյունը 60⁰ է, ներքնաձիգի և փոքր էջի գումարը հավասար է 18սմ: Գտնել ներքնաձիգի և փոքր էջի երկարությունը:

AC + AB = 18
AB = 2 * AC
AC + 2 * AC = 18
3AC = 18
AC = 18 / 3 = 6
AB = 6 * 2 = 12

7․Տրված է DEK ուղղանկյուն եռանկյունը և նրա ∡K անկյան արտաքին անկյունը:

Որոշել եռանկյան սուր անկյունների մեծությունները, եթե ∡EKR=145°-ի

180 – 145 = 35
90 – 35 = 55

8․ A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=4,2սմ, BC=8,4սմ: Գտնել ∡B-ն:
8.4 / 4.2 = 2
∡C = 30
∡B = 90 – 30 = 60

9․ Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 60° է, իսկ փոքր էջի և ներքնաձիգի գումարը հավասար է 9 սմ-ի: Որոշիր փոքր էջի երկարությունը:

AB + BC = 9
BC = 2AB
AB + 2AB = 9
3AB = 9
AB = 9 / 3 = 3

10․ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ AC հիմքին տարված է BD բարձրությունը: Բարձրության երկարությունը 12.5 սմ է, իսկ սրունքը՝ 25 սմ: Որոշել եռանկյան անկյունները:

25 / 12.5 = 2
∡A = 30
∡C = 30
∡B = 180 – 60 = 120