Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:
x-ը անվանում են անկախ փոփոխական կամ արգումենտ, իսկ y-ը՝ կախյալ փոփոխական կամ ֆունկցիայի արժեք: X բազմությունը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ:
y=f(x) բանաձևում՝
x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը,
y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,
f-ը կանոնն է, որով ամեն x արգումենտի համար գտնվում է ֆունկցիայի y արժեքը:
Ուշադրություն
Ֆունկցիան տալու համար պետք է նկարագրել f օրենքը (կանոնը, եղանակը), որի օգնությամբ X բազմության ցանկացած x-ի համար կարելի է գտնել ֆունկցիայի y արժեքը:
Օրինակ
Ֆունկցիայի օրինակ է x և y փոփոխականների միջև y=2x առնչությունը:
Այս դեպքում կանոնը հետևյալն է՝ ցանկացած x թիվ պետք է կրկնապատկել, ստացված կրկնապատիկ թիվը՝ y=2x-ը կլինի ֆունկցիայի արժեքը x կետում:
Քանի որ ցանկացած թիվ կարելի է կրկնապատկել, ապա այս ֆունկցիան իմաստ ունի ցանկացած x-ի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը՝ X բազմությունը, ամբողջ թվային առանցքն է:
Այս օրինակում ֆունկցիան տրվում է բանաձևի (y=2x) միջոցով: Գոյություն ունեն f օրենքը նկարագրելու (ֆունկցիայի տրման) այլ եղանակներ:
Ֆունկցիայի տրման եղանակները
1. Գրաֆիկական եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է գրաֆիկի (դիագրամի, սյունապատկերի) միջոցով:
Եթե ունենք y=f(x),x∈X ֆունկցիան, և xOy հարթության վրա նշված են (x;y) տեսքի բոլոր կետերը, որտեղ x∈X, և y=f(x), ապա այդ կետերի բազմությունը կոչվում է y=f(x),x∈X ֆունկցիայի գրաֆիկ:
Օրինակ
y=kx՝ուղիղ գիծ:
2. Անալիտիկ եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է բանաձևի միջոցով:
y=2x+5 y=|x|
3. Աղյուսակային եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է աղյուսակի միջոցով:
x
1
2
3
4
y
3
6
9
12
4. Թվազույգերի եղանակ: Ֆունկցիան տրվում է թվազույգերով՝ (1;2), (2;4), (3;6)
Հարցեր և առաջադրանքներ։
1․ Ի՞նչ է ֆունկցիան։ Դիցուք X-ը որևէ թվային բազմություն է: Եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր x թվի որոշակի f օրենքով համապատասխանության մեջ է դրվում ճիշտ մեկ y թիվ, ապա ասում են, որ X բազմության վրա տրված է y=f(x) ֆունկցիան:
2․ Ինչպե՞ս են անվանում x-ը և y-ը։ x-ը անկախ փոփոխականն է, կամ արգումենտը, y-ը կախյալ փոփոխականն է, կամ ֆունկցիայի արժեքը x կետում,
3․ Ի՞նչ եղանակներով կարելի է տալ ֆունկցիան։ Այս օրինակում ֆունկցիան տրվում է բանաձևի (y=2x) միջոցով: Գոյություն ունեն f օրենքը նկարագրելու (ֆունկցիայի տրման) այլ եղանակներ:
4․ Արդյո՞ք այս s=2v արտահայտությունը ֆունկցիա է:
ա) այո բ) ոչ
5․ Ո՞րն է s=3v ֆունկցիայի կախյալ փոփոխականը:
ա) v բ) s գ) արտահայտությունը ֆունկցիա չէ
6․ Ֆունկցիան տրված է աղյուսակով:
x
3
5
11
y
7
11
23
Լրացնել․
ա) Եթե արգումենտի արժեքը 4-ն է, ապա ֆունկցիայի արժեքը հավասար է ․․․։ 4 * 2 + 1 = 9
բ) եթե ֆունկցիայի արժեքը հավասար է 15-ի, ապա արգումենտը հավասար է ․․․։ 2x + 1 = 15 2x = 15 – 1 = 14 x = 14 / 2 = 7
7․ Գտնել y=(x−3)/(x−1) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը: Բոլոր թվերը բացի 1-ից
8․ա) Ո՞ր թիվը չի պատկանում f(x)=(2x+1)/(x−2) ֆունկցիայի որոշման տիրույթին:
1․ 100գ լուծույթը պարունակում է 4 գ աղ: Որքա՞ն աղ է պարունակում 300գ այդպիսի լուծույթը:
3 * 4 = 12
2․ 4000գ լուծույթը պարունակում է 80գ աղ: Որքա՞ն աղ է պարունակում այդ լուծույթի 200գրամը:
4000 / 200 = 20
3․ 4 հոգանոց բրիգադն առաջադրանքը կարող է կատարել 10 օրում: Քանի՞ օրում կկատարի նույն առաջադրանքը 5 հոգանոց մի այլ բրիգադ, եթե բոլոր 9 հոգին էլ հավասարապես լավ են աշխատում: 4 / 5 = x / 10 5x = 10 * 4 5x = 40 x = 40 / 5 = 8 x = 8
4․ Գնացքը հաստատուն արագությամբ 6 ժամում անցավ 480 կմ: Քանի՞ կմ էր անցել գնացքն առաջին 2 ժամում:
480 / 6 = x / 2 6x = 480 * 2 6x = 960 x = 960 / 6 x = 160
5․ Բալի մուրաբա եփելու համար 6 կգ մրգի հետ վերցնում են 4 կգ շաքարավազ: Քանի՞ կգ շաքարավազ պետք է վերցնել 12 կգ մրգի դեպքում:
6 / 4 = 12 / x 6x = 12 * 4 6x = 48 x = 48 / 6 x = 8
6․ 5 ներկարար կարող են ցանկապատը ներկել 8 օրում: Քանի՞ օրում նույն ցանկապատը կարող են ներկել 10 ներկարարը։ 5 / 10 = x / 8 10x = 8 * 5 10x = 40 x = 40 / 10 x = 4
7․ 1մ մահուդն արժե այնքան, որքան 63մ չիթը: Քանի՞ մետր չիթ կարելի է գնել 14մ մահուդի փոխարեն:
1 / 63 = 14 / x x = 14 * 63 x = 882
8․ Որոշ քանակությամբ մատիտների համար վճարել են 800 դրամ: Ինչքա՞ն պետք է վճարել նույն տեսակի մատիտների համար, եթե նրանց քանակը.
ա) 2 անգամ մեծ է 800 * 2 = 1600
բ) 2 անգամ փոքր է: 800 / 2 = 400
9․ Արկղում կա 48 տուփ 250 գրամանոց կանաչ թեյ: Այդքան կանաչ թեյից քանի՞ 150 գրամանոց տուփ կստացվի: 250 / 150 = x / 48 150x = 250 * 48 150x = 12000 x = 12000 / 150 x = 80
10․ 6 կգ նարնջի համար վճարեցին 4200 դրամ: Որքա՞ն կարժենա 20 կգ նարինջը: 6 / 20 = 4200 / x 6x = 4200 * 20 6x = 84000 x = 84000 / 6 x = 14000
Խնդիր: Երկու գյուղերի միջև հեռավորությունը 240 կմ է: Որոշիր, թե քանի՞ ժամում կարելի է մի գյուղից հասնել մյուս գյուղը, եթե 20 կմ/ժ արագությունը ավելացնել 2 անգամ, 3 անգամ, 4 անգամ:
Լրացրու աղյուսակը:
Արագությունը, կմ/ժ
20
40
60
80
Ժամանակը, ժ
12
6
4
3
Նկատենք, որ արագությունը 2 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 40 կմ/ժ), ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 2 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 6 ժ):
Նույն ձևով, արագությունը 3 անգամ մեծացնելիս (20 կմ/ժ էր, դարձավ 60 կմ/ժ), ժամանակը կրճատվեց (փոքրացավ) 3 անգամ (12 ժ էր, դարձավ 4 ժ):
Ուշադրություն
Արագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:
Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:
Երկու մեծություններ կոչվում են հակադարձ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը փոքրանում է (մեծանում է) նույնքան անգամ:
Ուշադրություն
Եթե երկու մեծությունները հակադարձ համեմատական են, ապա նրանց համապատասխան արժեքների արտադրյալները հավասար են:
Ստուգենք այս պնդումը վերևի խնդրի օրինակի վրա:
20⋅12=40⋅6=60⋅4=80⋅3=240
Ուղիղ համեմատականությունը տրվում է բանաձևի միջոցով:
y=kx բանաձևը կոչվում է հակադարձ համեմատականության բանաձև, որտեղ y-ը և x-ը փոփոխական մեծություններն են, իսկ k-ն՝ հաստատուն է:
k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:
Առաջադրանքներ:
1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում հակադարձ համեմատական։
րագությունը մի քանի անգամ մեծացնելիս, ժամանակը նույնքան անգամ փոքրանում է:
Ասում են, որ արագությունը հակադարձ համեմատական է ժամանակին:
2․ Գրել հակադարձ համեմատականության տրման բանաձևը։
y = K/X y = K * X
3․ Ինչպե՞ս է կոչվում հաստատունը։ k հաստատունը կոչվում է հակադարձ համեմատականության գործակից:
4․ Լրացրու աղյուսակը:
z
2
4
20
20
y
50
25
5
5
5․ Ուշադիր նայիր այս աղյուսակին:
s
5
3
8
2
v
48
80
30
120
ա) Աղյուսակի կախումը հակադարձ համեմատական է:
բ) Ընտրել բանաձևը, որով տրվում է այս կախումը. (s-ը և v-ն փոփոխականներ են, k-ն` թիվ է)
v=k⋅s k=v⋅s
գ) Գտիր k գործակիցը՝ k = 240
դ) Լրացնել աղյուսակի երկու պատուհանները:
6․ Բեռնատար մեքենան որոշ հեռավորություն 60 կմ/ժ արագությամբ անցավ 8 ժամում: Քանի՞ ժամում նույն հեռավորությունը կանցնի մարդատար ավտոմեքենան 80 կմ/ժ արագությամբ։
60 * 8 = 480 480 / 80 = 6
7․ Միրնույն ժամանակում հետիոտն անցավ 6 կմ, իսկ հեծանվորդը՝ 18 կմ։ Որքա՞ն ժամանակ կծախսի հետիոտն այն ճանապարհն անցնելու համար, որը հեծանվորդն անցնում է 2 ժամում։ s1 = 6 = v1t s2 = 18 = v2t v1 = 6 / t v2 = 18 / t s2 = v2 * 2 = 18/t * 2 = 36/t 36 = Tx * 6 tx = 36/6 = 6
8․ 6 մարդ մի աշխատանք կատարում են 18 օրում։ Քանի՞ օրում կկատարեն այդ աշխատանքը 9 մարդ, եթե բոլոր 15-ը հավասարազոր աշխատողներ են։ 6 = k/18 k = 18 * 6 = 108 9 = 108 / 9 = 12
9․ 6 ներկարար աշխատանքը կկատարեն 5 օրում։ Նույն արտադրողականությունն ունեցող քանի՞ ներկարար ևս պետք է հրավիրել, որպեսզի բոլորով միասին այդ նույն աշխատանքը կատարեն 3 օրում։ 6 = k / 5 k = 6 * 5 = 30 y = k/3 = 30/3 = 10
1․ Ո՞ր մեծություններն են կոչվում ուղիղ համեմատական:
Երկու մեծություններ կոչվում են ուղիղ համեմատական, եթե մեծություններից մեկը մի քանի անգամ մեծացնելիս (փոքրացնելիս) մյուսը մեծանում է (փոքրանում է) նույնքան անգամ:
2․ Գրել ուղիղ համեմատականության տրման բանաձևը:
Ուղիղ համեմատականության գրաֆիկը անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով; Օրինակ․՝ x = k * y
3․ Ինչպե՞ս է կոչվում k հաստատունը: k հաստատունը կոչվում էհամեմատականության գործակից:
4․ Պարզել, թե արդյո՞ք մեծությունների բերվող կախվածությունը ուղիղ համեմատականություն է:
ա) Կախվածությունը հաստատուն արագությամբ շարժվող մեքենայի անցած ճանապարհի և ծախսած ժամանակի միջև: Ճիշտ է։
բ) Կախվածությունը կնոջ տարիքի և նրա գլխարկի չափի միջև: Ճիշտ չե։
5․ Աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել դատարկ վանդակները:
Զանգված կգ
1
2
3
4
5
Գին (դրամ)
200
400
600
800
1000
6․ Լրացնել հետևյալ աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրվածի եռապատիկ թվին:
տրված թիվը
2
3
4
5
եռապատիկ թիվը
6
9
12
15
7․ Լրացնել աղյուսակը՝ օգտագործելով կախվածությունը թվերի միջև: Պահանջվող թիվը հավասար է տրված թվի հինգերորդ մասին:
տրված թիվը
−40
−35
−30
−15
թվի հինգերորդ մասը
-8
-7
-6
-3
8․ Հայտնի է, որ աղյուսակում բերված մեծությունները ուղիղ համեմատական են: Լրացնել աղյուսակը:
Զանգված (կգ)
1
2
3
4
5
Գին (դրամ)
150
300
450
600
750
9․ Աղյուսակում բերված են երկու ուղիղ համեմատական մեծությունների արժեքներ: Լրացնել աղյուսակի դատարկ պատուհանները:
Երկարություն (դմ)
1
2
3
4
5
Զանգված կգ
10
20
30
40
50
10․ Ո՞ր դեպքում են մեծություններն ուղիղ համեմատական:
Շեղանկյան անկյունը և շեղանկյան մակերեսը:
Հրավիրված հյուրերի թիվը և պատվիրված խմորեղենի քանակը:
Արշավախմբի անդամների թիվը և մեկ օրվա սննդամթերքի քանակը (սննդամթերքի ընդհանուր քանակը չի փոխվում):
3.Տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի սուր անկյուններից մեկի մեծությունը 56° է: Որոշել այդ եռանկյան մյուս սուր անկյան մեծությունը: 90 – 56 = 34
4. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը։ Գտնել ∠ADC-ն, եթե ∠C=480։ DAC = 48 / 2 = 24 ADC = 24 + 48 = 72 180 – 72 = 108
5. Որոշել NLM եռանկյան անկյունների մեծությունները, եթե ∠N:∠L:∠M=4:3:5 12x = 180 x = 15 N = 15 * 4 = 60 L = 15 * 3 = 45 M = 15 * 5 = 75
6. Տրված է CAB եռանկյունը: Նշել A անկյան հանդիպակաց կողմը:
ա) AB բ) CA գ) CB
7. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը հավասար է 74 մ-ի, իսկ նրա սրունքը հավասար է 22 մ-ի: Հաշվել եռանկյան հիմքը: 74 – 22 * 2 = 30
8. Տրված է ΔBCA, AC=BC: Եռանկյան հիմքը 11դմ-ով փոքր է սրունքից: BCA եռանկյան պարագիծը հավասար է 121դմ-ի: Հաշվել եռանկյան կողմերը: AB = BC – 11 AB + BC + AC = 121 BC – 11 + BC + BC = 121 3BC = 121 + 11 = 132 BC = 132 / 3 = 46 AC = 46 AB = 44 – 11 = 33
9. Տրված են երեք հատվածների երկարությունները: Որոշել, թե արդյո՞ք դրանք կարող են լինել որևէ եռանկյան կողմեր:
ա) 11; 14; 20 ոչ այո
բ) 15; 16; 37 ոչ այո
գ) 18; 18; 18 ոչ այո
10․ A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ AB=3,5 սմ, BC=7 սմ: Գտնել ABC եռանկյան անկյունները: 7 / 3.5 = 2 <C = 30 <B = 60 <A = 90
զ) −x−3=2(x+4) -x – 3 = 2x + 8 8 + 3 – x – 2x = 8 + 3 -3x = 11 x = -11/3 է) −x+2x=−1 x = -1 ը) −2x+1=-9 -2x = -10 x = 5
6․Տրված են A={1,2,3,4,5} և B={2,4,6} բազմությունները: Կազմել բերված բազմությունների հատումը և միավորումը։ AuB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} АnB = {2, 4}
7․ Տրված են երկու բազմություններ՝ A={a, b, c},B={b, c, d}: Գտնել դրանց միավորումն ու հատումը: AuB = {a, b, c, d} AnB = {b, c}
8․ Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 12 տարր, իսկ B-ն՝ 16: Պարզել A և B բազմությունների հատման տարրերի թիվը, եթե դրանց միավորումն ունի 20 տարր: 12 + 16 = 28 28 – 20 = 8
9․ Երեք իրար հաջորդող զույգ թվերի գումարը հավասար է 36: x + (x + 2) + (x + 4) = 36 3x = 36 – 6 = 30 3x = 30 x = 10 10 + 2 = 12 10 + 4 = 14 x = 14
10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտնել մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում: 6 (x + 1) = 8 (x – 1) 6x + 6 = 8x – 8 14 = 2x x = 7
11․ Երկու նավահանգիստների միջև հեռավորությունը 176 կմ է: Նավահանգիստներից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեցին երկու նավակ, որոնց արագությունները կանգնած ջրում հավասար են: 4 ժամ անց նավակները հանդիպեցին: Հոսանքի արագությունը 2 կմ/ժ է: Գտնել նավակների արագությունները կանգնած ջրում։ 4(x + 2) + 4(x – 2) = 176 4x + 8 + 4x – 8 = 176 4x + 4x = 176 8x = 176 x = 176 / 8 = 22
12․ Աշակերտը 1200 դրամով գնեց տետրեր և գրիչներ: Գրիչների վրա նա ծախսեց 3 անգամ ավելի շատ գումար, քան տետրերի: Որքա՞ն գումար ծախսեց աշակերտը տետրերի և գրիչների վրա: 3x + x = 1200 x = 1200 / 4 x = 300 3x = 900
13․ 1 կիլոգրամ խնձորի և 2 կիլոգրամ տանձի համար վճարեցին 1900 դրամ: Մեկ կիլոգրամ տանձը 200 դրամով թանկ է մեկ կիլոգրամ խնձորից: Որքա՞ն արժեն խնձորի և տանձի մեկ կիլոգրամները: x + 2 (x + 200) = 1900 x + (2x + 400) = 1900 3x =1500 x = 1500/3 x = 500 500 + 200 = 700
ա) բնական թվերի բազմությունը 1-ից մինջև ամբողջ տվերը ։ բ) ամբողջ թվերի բազմությունը -1-ից մինջև ամբողջ թվերը։
գ) ռացիոնալ թվերի բազմությունը Ամբողջ թվերից, սովորական կոտորակներից կազմված բազմությունն անվանում են ռացիոնալ դ) իռացիոնալ թվերի բազմությունը Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում է իռացիոնալ թիվ: ե) իրական թվերի բազմությունը: Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր:
2․ Գրառել
ա) 10-ից մեծ և 50-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունը: 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
բ) 42-ից փոքր և 6-ի հետ փոխադարձ պարզ թվերի բազմությունը: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41:
գ) այն երկնիշ թվերի բազմությունը, որոնք 12-ի բաժանելիս տալիս են 5 մնացորդ: 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89,
3․ Օգտագործելով N, Z, Q նշանակումները և ∈, ∉ նշանները՝ ներկայացրու հետևյալ պնդումը՝
−3-ը ռացիոնալ թիվ է: -3∈Q
4․ Պարզիր, թե արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ 2.6∉Q։ Ընտրել ճիշտ պնդումները: 2.6∈Q
5. Տրված է A={2.5;−4;0;25;6} բազմությունը: Որոշել դրա այն ենթաբազմությունները, որոնք բաղկացած են միայն բնական թվերից: Ընտրել ճիշտ պատասխանի տարբերակները: {25;6} ա) {0,6} բ) {0,25,6} գ) {6} դ) {−4,0,6}
6. Տրված են պնդումներ և առնչություններ բազմությունների և նրանց տարրերի վերաբերյալ: Ընտրել ճիշտ պնդումները:
Թեմա՝ Հիմնական հասկացություններ բազմությունների մասին։
Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:
Սովորաբար բազմությունը նշանակում են լատինական այբուբենի մեծատառերով՝ A,B,C,…,իսկ բազմության տարրերը՝ նույն այբուբենի փոքրատառերով՝ a,b,c,…:
Բազմությունը բաղկացած է տարրերից. դա գրում են ձևավոր փակագծերի միջոցով՝ A={a1;a2;…;an}
Եթե a-ն A բազմության տարր է, ապա ասում են՝ «a-ն պատկանում է A-ին» և գրում∈ պատկանելիության նշանի միջոցով՝ a∈A: ∉ նշանը ցույց է տալիս, որ տարրը չի պատկանում բազմությանը:
Օրինակ՝ −8∉N նշանակում է, որ −8 թիվը չի պատկանում բնական թվերի բազմությանը:
Բազմության տարրերի հերթականությունը կարևոր չէ:
Օրինակ՝ {a,b,c}և{c,b,a} բազմությունները նույն են, կամ հավասար են:
Երկու բազմություններ անվանում են հավասար, եթե նրանք բաղկացած են միևնույն տարրերից:
Ոչ մի տարր չպարունակող բազմությունը անվանում են դատարկ բազմություն և նշանակում են ∅ նշանով:
Վերջավոր թվով տարրերից բաղկացած բազմությունը կոչվում է վերջավոր բազմություն:
Օրինակ՝ մեկ a տարրից բաղկացած A={a} բազմությունը վերջավոր է:
Բնական թվերի N={1,2,3,4,5…} բազմությունը վերջավոր չէ կամ անվերջ է:
Բազմության տարրերից, տարբեր խմբավորումներով, կարելի է կազմել նոր բազմություններ:
Եթե A բազմության ցանկացած տարր հանդիսանում է նաև B բազմության տարր, ապա ասում են, որ A-ն B բազմության ենթաբազմություն է և գրում են՝ A⊂B
Մասնավորապես՝ բազմությունը իր ենթաբազմությունն է՝ A⊂A
Ուշադրություն՝ Չխառնես ∈ և ⊂ նշանները:
Օրինակ՝ այս 3∈{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ է, քանի որ 3 թիվը հանդիսանում է {0,1,2,3,4,5} բազմության տարր: Իսկ 3⊂{0,1,2,3,4,5} գրառումը ճիշտ չէ՝ ձախ մասում թիվ է, իսկ պետք է բազմություն լինի:
A և B բազմությունների միավորում անվանում են այն բազմությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն տարրերից, որոնք պատկանում են A և B բազմություններից գոնե մեկին: Միավորումը նշանակում են այսպես՝ A∪B
Բազմությունները հարմար է ներկայացնել շրջանների տեսքով, որոնք անվանում են Էյլերի շրջաններ:
A և B բազմությունների հատում անվանում են այն բազմությունը, որի տարրերը պատկանում են միաժամանակ և՛ A, և՛ B բազմություններին: Հատումը նշանակում են այսպես՝ A∩B:
Օրինակ` Գտնենք A և B բազմությունների հատումը , եթե, A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} և B={2,4,6,8,10}
Ընդգրկենք ընդհանուր տարրերը և բացառենք մնացած տարրերը՝ A∩B={2,4,6,8}
Հարցեր և առաջադրանքներ։
1․ Ի՞նչ է բազմությունը։ Բազմությունը որևէ առարկաների, իրերի, գաղափարների հավաքածու է, որոնք կոչվում են այդ բազմության տարրեր:
2․ Ո՞ր բազմություններն են հավասար։ որենք ունես նույն տարրերը
3․ Բերել վերջավոր և անվերջ բազմությունների օրինակներ։
Օրինակ կենդանիների բազմության վերջավոր։
4․ Ընտրել բազմությունը՝ բառերով տրված նկարագրի հիման վրա: −6-ից մեծ ամբողջ բացասական թվեր: Ընտրել պատասխանի ճիշտ տարբերակը:
6․Այս բազմություններից ո՞րն է վերջավոր: Ընտրել պատասխանի ճիշտ տարբերակը:
զրոյից փոքր ամբողջ թվեր
երկուսից փոքր բնական թվեր
զրոյից մեծ բնական թվեր
մինուս չորսից մեծ ամբողջ թվեր
7․Տրված են {1,2,3,4,5} և {2,4,6} բազմությունները: Կազմել բերված բազմությունների միավորումն ու հատումը։ A∩B = {2, 4} A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
8․ Տրված են երկու բազմություններ՝ A={x,2y,z},B={x, y}: Գտնել նրանց միավորումն ու հատումը: ա) A∪B բ) A∩B A∩B = {x} A∪B = {x, 2y, z, y}
9․ Տեղի ունի բազմությունների միավորման այս հավասարությունը՝ {x, y}∪{0,4}={x, y}
ա) որոշել x-ը, եթե y-ը բնական թիվ չէ: x = 4 y = 0
բ) որոշել x-ը, եթե y-ը բնական թիվ է: x = 0 y = 4
10․Տրված են երկու բազմություններ՝ A={3,5,7}, B={2,4}: Կազմել տրված բազմությունների միավորումն ու հատումը: A∪B = 2, 3, 4, 5, 7 A∩B = ∅
11․Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 15 տարր, իսկ B-ն՝ 4: Որոշել A և B բազմությունների միավորման տարրերի թիվը, եթե դրանց հատումն ունի 1 տարր: A∪B = 15 + 4 – 1 = 18
12․Տրված է երկու բազմություն՝ A և B: A-ն ունի 12 տարր, իսկ B-ն՝ 16: Պարզել A և B բազմությունների հատման տարրերի թիվը, եթե դրանց միավորումն ունի 20 տարր: A = 12 B = 16 A∪B = 20 20 = 12 + 16 – A∩B 20 – 28 – A∩B A∩B = 8
13․Տրված է երկու բազմություն՝ A={2,4,6,8,…,20} և B={1,2,3,…,133}: Գտնել դրանց հատումը: A∩B = A A∪B = B
Թեմա՝ Խնդիրների լուծում գծային հավասարումների օգնությամբ։
Առաջադրանքներ։
1․Գործարանի երեք արտադրամասում աշխատում է 1130 մարդ: Երկրորդ արտադրամասում 70 մարդ ավելի է աշխատում, քան առաջինում, իսկ երրորդում՝ 84 մարդ ավելի, քան երկրորդում: Քանի՞ մարդ է աշխատում յուրաքանչյուր արտադրամասում:
1 արտադրամաս – x 2 արտադրամաս – x + 70 3 արտադրամաս – x + 70 + 84
2․ Մի թիվը 13-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը 8-ով,ապա նրանց գումարը կլինի 129։ Գտնել այդ թվերը։ 1. x 2. x + 13 2x + x + 13 + 8 = 129 3x + 21 = 129 3x = 129 – 21 = 108 x = 108 / 3 = 36 Պատ․՝ 1. 36 2. 36 + 13 = 49
3․ Հայրը որդուց մեծ է 7 անգամ: 5 տարի հետո նա որդուց մեծ կլինի 4 անգամ: Քանի՞ տարեկան է հայրը: Որդի – x Հայր – 7x 7x + 5 = 4(x + 5) 7x + 5 = 4x + 20 7x – 4x = 20 – 5 3x = 15 x = 15 / 3 = 5 Պատ․՝ 35 տարեկան
4․ Երեք արկողում միասին կա 84 գնդակ: Եթե առաջին արկղից հանենք 5 գնդակ, երկրորդից՝ 9 գնդակ, իսկ երրորդից՝ 4 գնդակ, ապա բոլոր արկղերում կմնան հավասար քանակությամբ գնդակներ: Սկզբում քանի՞ գնդակ կար յուրաքանչյուր արկղում: 1. x + 5 2. x + 9 3. x + 4 3x + 18 = 84 3x = 84 – 18 = 66 x = 66 / 3 = 22 Պատ․՝ 1. 22 + 5 = 27 2 . 22 + 9 = 31 3. 22 + 4 = 26
5․10000 դրամը պետք է մանրել 200 դրամ և 500 դրամ մետաղադրամներով այնպես, որ նրանց քանակը լինի 26։ Դրանցից քանի՞սը կլինի 200 դրամանոց։ 200. x 500. 26 – x 200x + 500(26-x) = 10000 200x + 13000 – 500x = 10000 -300x = 10000 – 13000 = -3000 x = -3000 / -300 = 10 Պատ․՝ 10 հատ
6․ Մի քաղաքից մյուսը հեծանվորդը գնում է 5 ժամում, իսկ մեքենան 2 ժամում։ Որքա՞ն է հեծանվորդի արագությունը, եթե մեքենայի արագությունը 42 կմ/ժ-ով մեծ է հեծանվորդի արագությունից։ Հեծանվորդ․ x Մեքենա. x + 42 5x = 2(x + 42) 5x = 2x + 84 3x = 84 x = 84 / 3 = 28 Պատ․՝ 28 կմ/ժ
7․ Եռանկյան պարագիծը 77 սմ է։ Որոշել եռանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա առաջին կողմը 2 անգամ փոքր է երկրորդից, իսկ երրորդը ՝ 5 սմ-ով մեծ է առաջինից։ 1. x 2. 2x 3. x + 5 x + 2x + x + 5 = 77 4x = 72 x = 72 / 4 = 18 Պատ․՝ 1. 18 2. 18 * 2 = 36 3. 18 + 5 = 23
8․ Մի ավազանում կա 480 լ ջուր, իսկ մյուսում՝ 1460 լ: Յուրաքանչյուր ժամում առաջին ավազան է լցվում 80 լ ջուր, իսկ երկրորդից յուրաքանչյուր ժամում դատարկվում է 60լ ջուր: Որքա՞ն ժամանակ հետո ավազանների ջուրը կհավասարվի: ժամանակ – x 480 + 80x = 1460 – 60x 140x = 980 x = 980 / 140 = 7 Պատ․՝ 7 ժամ
9․ Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի՞ աշակերտ կա երրորդ դասարանում: 1. x 2. x – 4 3. x + 3 x + x – 4 + x + 3 = 116 3x – 1 = 116 3x = 117 x = 117 / 3 = 39 Պատ․՝ 39 + 3 = 42
10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտի՛ր մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում: մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում – x 6(x + 1) = 8(x – 1) 6x + 6 = 8x – 8 14 = 2x x = 14/2 = 7 Պատ․՝ 7 կմ/ժ
Դավիթ Հովհաննիսյանի բլոգ 