Պարապմունք 43

Թեմա՝ Խնդիրների լուծում գծային հավասարումների օգնությամբ։

Առաջադրանքներ։

1․Գործարանի երեք արտադրամասում աշխատում է 1130 մարդ: Երկրորդ արտադրամասում 70 մարդ ավելի է աշխատում, քան առաջինում, իսկ երրորդում՝ 84 մարդ ավելի, քան երկրորդում: Քանի՞ մարդ է աշխատում յուրաքանչյուր արտադրամասում:

1 արտադրամաս – x
2 արտադրամաս – x + 70
3 արտադրամաս – x + 70 + 84

x + x + 70 + x + 70 + 84 = 1130
3x + 224 = 1130
3x = 1130 – 224 = 906
x = 906 / 3 = 302
Պատ․՝
1 արտադրամաս – 302
2 արտադրամաս – 302 + 70 = 372
3 արտադրամաս – 372 + 84 = 456

2․ Մի թիվը 13-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը 8-ով,ապա նրանց գումարը կլինի 129։ Գտնել այդ թվերը։
1. x
2. x + 13
2x + x + 13 + 8 = 129
3x + 21 = 129
3x = 129 – 21 = 108
x = 108 / 3 = 36
Պատ․՝
1. 36
2. 36 + 13 = 49

3․ Հայրը որդուց մեծ է 7 անգամ: 5 տարի հետո նա որդուց մեծ կլինի 4 անգամ: Քանի՞ տարեկան է հայրը:
Որդի – x
Հայր – 7x
7x + 5 = 4(x + 5)
7x + 5 = 4x + 20
7x – 4x = 20 – 5
3x = 15
x = 15 / 3 = 5
Պատ․՝ 35 տարեկան

4․ Երեք արկողում միասին կա 84 գնդակ: Եթե առաջին արկղից հանենք 5 գնդակ, երկրորդից՝ 9 գնդակ, իսկ երրորդից՝ 4 գնդակ, ապա բոլոր արկղերում կմնան հավասար քանակությամբ գնդակներ: Սկզբում քանի՞ գնդակ կար յուրաքանչյուր արկղում:
1. x + 5
2. x + 9
3. x + 4
3x + 18 = 84
3x = 84 – 18 = 66
x = 66 / 3 = 22
Պատ․՝
1. 22 + 5 = 27
2 . 22 + 9 = 31
3. 22 + 4 = 26

5․10000 դրամը պետք է մանրել 200 դրամ և 500 դրամ մետաղադրամներով այնպես, որ նրանց քանակը լինի 26։ Դրանցից քանի՞սը կլինի 200 դրամանոց։
200. x
500. 26 – x
200x + 500(26-x) = 10000
200x + 13000 – 500x = 10000
-300x = 10000 – 13000 = -3000
x = -3000 / -300 = 10
Պատ․՝ 10 հատ

6․ Մի քաղաքից մյուսը հեծանվորդը գնում է 5 ժամում, իսկ մեքենան 2 ժամում։ Որքա՞ն է հեծանվորդի արագությունը, եթե մեքենայի արագությունը 42 կմ/ժ-ով մեծ է հեծանվորդի արագությունից։
Հեծանվորդ․ x
Մեքենա. x + 42
5x = 2(x + 42)
5x = 2x + 84
3x = 84
x = 84 / 3 = 28
Պատ․՝ 28 կմ/ժ

7․ Եռանկյան պարագիծը 77 սմ է։ Որոշել եռանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա առաջին կողմը 2 անգամ փոքր է երկրորդից, իսկ երրորդը ՝ 5 սմ-ով մեծ է առաջինից։
1. x
2. 2x
3. x + 5
x + 2x + x + 5 = 77
4x = 72
x = 72 / 4 = 18
Պատ․՝
1. 18
2. 18 * 2 = 36
3. 18 + 5 = 23

8․ Մի ավազանում կա 480 լ ջուր, իսկ մյուսում՝ 1460 լ: Յուրաքանչյուր ժամում առաջին ավազան է լցվում 80 լ ջուր, իսկ երկրորդից յուրաքանչյուր ժամում դատարկվում է 60լ ջուր: Որքա՞ն ժամանակ հետո ավազանների ջուրը կհավասարվի:
ժամանակ – x
480 + 80x = 1460 – 60x
140x = 980
x = 980 / 140 = 7
Պատ․՝ 7 ժամ

9․ Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում և 3 աշակերտ պակաս՝ քան երրորդում: Քանի՞ աշակերտ կա երրորդ դասարանում:
1. x
2. x – 4
3. x + 3
x + x – 4 + x + 3 = 116
3x – 1 = 116
3x = 117
x = 117 / 3 = 39
Պատ․՝ 39 + 3 = 42

10․ Մոտորանավը գետի հոսանքի ուղղությամբ 6 ժամում անցավ այնքան ճանապարհ, որքան 8 ժամում անցավ հոսանքին հակառակ ուղղությամբ: Գետի հոսանքի արագությունը 1 կմ/ժ է: Գտի՛ր մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում:
մոտորանավի արագությունը կանգնած ջրում – x
6(x + 1) = 8(x – 1)
6x + 6 = 8x – 8
14 = 2x
x = 14/2 = 7
Պատ․՝ 7 կմ/ժ

Պարապմունք 41

1․Լուծել հավասարումները․

1) x-6=8
x = 8 + 6 = 14
2) x+46=4
x = -46 + 4 = -42
3) x-96=5
x = 5 + 96 = 101
4) 2x-10=4
2x = 4 + 10 = 14
x = 14/2 = 7
5) 3x+36=6
3x = 6 – 36 = -30
x = -30/3 = -10
6) x+14=-9
x = -14 – 9 = -23
7) 3x+83=-4
3x = -4 – 83 = -87
x = -87/3 = -29

8) 2x-6=8
2x = 8 + 6 = 14
x = 14/2 = 7
9) 2x-8=2
2x = 2 + 8 = 10
x = 10/2 = 5
10) 4x-16=32
4x = 32 + 16 = 48
x = 48/4 = 12
11) 7x+49=-21
7x = -21 – 49 = -70
x = -70/7 = -10
12) 9x-81=18
9x = 18 + 81 = 99
x = 99/9 = 11
13) 18x+36=36
18x = 36 – 36 = 0
x = 0
14) 29x-158=16
29x = 16 + 158 = 174
x = 174/29 = 6
15) 3x+9=-3
3x = -3 – 9 = -12
x = 12/3 = 4
16) 5x+15=25
5x = 25 – 15 = 10
x = 10/5 = 2
17) 2x+96=0
2x = -96
x = -96
18) 6x+126=0
6x = -126
x = -126/6 = -21
19) 7x+56=0
7x = -56
x = -56/7 = -8
20) 8x+96=16
8x = 16 – 96 = -80
8x = -80 + 96 = 16
x = 16/8 = 2
21) 32x+288=32
32x = 32 – 288 = -256
x = 256/32 = 8
22) -x-6=0
-x = 6
x = -6
23) -x+56=0
-x = -56
x = 56
24) -21x-42=0
-21x = 42
x = 42/-21 = -2
25) -11x+11=0
-11x = -11
x = -11/-11 = 1

2․Լուծել հավասարումները։

1. x = 17 + 11 = 28
2. x = 2 – 6 = -4
3. x = -6 – 12 = -18
4. x = 5 – 13 = -8
5. x = -14/7 = -2
6. x = 51/-17 = -3
7. x = 7/6
8. x = -13/2 = -6.5
9. x = -2

3․Գտնել հավասարման արմատը․

1. 5x = 4 – 1: x = 3/5
2. 5x = 7 – 5 + 8 = 10: x = 10/5 = 2
3. x + 1 = 3: x = 3 – 1 = 2
4. 2x – 3 – x – 1 = 1: x – 4 = 1: x = 1 + 4 = 5
   

4․Գտնել անհայտը․

1. 4x + 12 = 0: 4x = -12: x = -12/4 = -3
2. 2x – 16 = 0: 2x = 16: x = 16/2 = 8
3. 3x – 1 – 2x – 5 + x = 0
   2x – 6 = 0: 2x = 6: x = 6/2 = 3
4. 1,52 – 2,8x – 1,72 + 5,2x = 0
   8x – 0,2 = 0: 8x = 0,2: x = 0,2/8 = 0.025
5. 5x + 7 – 2x – 3 + 2x – x = 0
   4x + 4 = 0: 4x = -4: x = -4/4 = -1
6. 7 – 0.2x – 21,28 + 1,6 = 0
7. -0,2x – 12,68 = 0: 0.2x = 12,68: x = 12,68/0.2 = 63,4

5․Լուծել հավասարումները․

1. x = 3/0 (լուծում չունի)
2. x = -2/0 (լուծում չունի)
3. x = 0/0 (սահմանված չէ)
4. 0x = 0 (սահմանված չէ)
5. 3x + 2x – 1 = 10
   5x = 10 + 1 = 11
   x = 11/5 = 2.2
6. 5x – 3x + 1 = 3
   2x = 3 – 1 = 2
   x = 2/2 = 1
7. 3x – 2 – x + 1 = 10
   2x = 10 + 1 = 11
   x = 11/2 = 5.5
8. 7 – 2x + 3 = x – 2 + 4x
   -2x -x – 4x = -2 – 7 – 3
   -7x = -12
   x = -12/-7
9. 12x + 4 = 12x – 6
   12x – 12x = -6 – 4 = -10
   0x = -10
   x = -10/0 (լուծում չունի)
10. 5 – 3x – 15 = 7 – 2 – 3x
    -3x + 3x = 7 – 2 – 5 + 15
    0x = 15
    x = 15/0 (լուծում չունի)

6․Լուծել հավասարումները․

ա) 3x – 7 = x
3x – x = 7
2x = 7
x = 7/2 = 3.5

բ) 2x + 3 = 5x – 9
2x -5x = -9 – 3
-3x = -12
x = -12/-3 = 4

գ) x + 8 – 7x = 4 + 3x – 14
x – 7x – 3x = 4 – 14 – 8
-9x = -18
x = -18/-9 = 2

դ) 3x+125=7x+9   
3x – 7x = 9 – 125
-4x = -116
x = -116/-4 = 29

 ե)-x+26+4x=6+5x-37
-x + 4x – 5x = 6 – 37 – 26
-2x = -57
x = -57/-2 = 28.5

զ) -56x+268+2x=68+2x
-56x + 2x – 2x = 68 – 268
-56x = -200
x = -200/-56

Պարապմունք 40

1․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում մեկ անհայտով գծային հավասարում։

2․Ո՞ր հավասարումներն են անվանում համարժեք։

3․ k-ի և b-ի դեպքում kx+b=0 հավասարումը` ա) ունի մեկ լուծում բ) լուծում չունի, գ) անթիվ բազմությամբ լուծումներ ունի:

4.Ընտրել առաջին աստիճանի −x−4=3−6x հավասարման անհայտի գործակիցը:

Ընտրել ճիշտ պատասխանը ա) 1 բ) 5 գ) 6 դ) 7

5.Նշել x+4=−2x հավասարման ազատ անդամը:

ա) −2 բ) 4 գ) 3 դ) 1

6․ Հետևյալ 1/3x = -2 հավասարման արմատը հավասար է.
-1/6

7․ Գտնել 3 − 2x = 3 (x − 1) հավասարման ազատ անդամը:

ա) 6 բ) 3 գ) 6/5 դ) 1 ե) −5

8․ Լուծել տրված հավասարումը՝ 2 (x + 11) = 0
x + 11 = 0

x = -11

9․ Գտնել հետևյալ 3x = x հավասարման ազատ անդամը:
3x – x = 0
2x = 0
x = 0

10․ x փոփոխականի ո՞ր արժեքի դեպքում է 6x − 18 տարբերության արժեքը հավասար 0-ի:
6x – 18 = 0
6x = 18
x = 18/6 = 3

11.Քանի՞ արմատ ունի 3(x−1)+3x−1=4(2x+3) հավասարումը:
1 արմատ

12.Արդյո՞ք 7-ը հանդիսանում է 9x+4=2x հավասարման անհայտի գործակից:

ա) այո բ) ոչ

13.Լուծել հավասարումը՝ −8−0.5x=8
0.5x = – 8 – 8
0.5x = -16
x = -16/-0.5
x = -32

14.Գտնել 4(2−3x)+2=8x−4 հավասարման արմատը:
8 – 12x + 2 = 8x – 4
-20x = -14
x = -14/-20 = 7/10

15.Գտնել 2x+6+3(4x+2)=8(x+3) հավասարման արմատը:
12x + 6 = 8 * x + 24
2x + 12x -8x = 24
24 – 12 = 12
6x = 12
x = 12/6 = 2

16.Արդյո՞ք x²+3x−1=0 հավասարումը մեկ անհայտով գծային հավասարում է:
Ոչ

17.Թվարկվածներից ընտրիր այն հավասարումները, որոնք մեկ փոփոխականով գծային հավասարումներ են:

• x=6(x−2)+4
  մեկ փոփոխականով գծային հավասարում
• 5x+72x−8=2
  մեկ փոփոխականով գծային հավասարում
• 9x²=1
  ոչ
• x+3y=0
  ոչ
• 3x=0
  մեկ փոփոխականով գծային հավասարում
• 5x−14+2x=x³
  ոչ

18. Համարժեք են արդյոք հավասարումները․

ա) 5x+15=0  այո  9x+27=0         բ) 15x-60=0 այո x-4=0         գ) 12x-144=0 ոչ 9x+121=0

դ) 62x+124=0 ոչ  -7x=0         ե) 25x-200=0  այո  -x+8=0         զ) x-1=0  ոչ 5x+5=0

19.Կազմել հավասարում և լուծելայն․

ա) x թվին գումարել են 6 և ստացել են 15։

x + 6 = 15
x = 9

բ) x թվից հանել են 13 և ստացել են 9։
x – 13 = 9
x = 22

գ) 37-ից հանել են x թիվը և ստացել են 15։
37 – x = 15
x = 22

դ) 14-ին գումարել են x թիվը և ստացել են 28։
14 + x = 28
x = 14

Պարապմունք 39

1․ Ո՞ր հավասարումն են անվանում մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Բերել օրինակներ։
Մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում անվանում են այն հավասարումը, որի ձախ մասը առաջին աստիճանի բազմանդամ է, իսկ աջ մասը՝ զրո:
Oրինակ 6x – 6 = 0

2․ Ի՞նչն են անվանում մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարման արմատ։

Մեկ x անհայտ պարունակող հավասարման արմատ (կամ լուծում) անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x-ի փոխարեն տեղադրելիս ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն:

3․ Ի՞նչ է նշանակում լուծել հավասարումը։
Լուծել հավասարումը նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները,այսինքն՝ գտնել այն բոլոր արժեքները (թվերը), որոնց դեպքում հավասարությունը ճիշտ կլինի, կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան։

4․Քանի՞ արմատ ունի մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումը։

Մեկ անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումը ունի 1 արմատ կամ չունի արմատ։

5․ Արդյո՞ք 8-ը հանդիսանում է x + 8 = 0 հավասարման արմատ: ա) այո բ) ոչ

6․ Արդյո՞ք −2-ը հանդիսանում է 3x + 6 = 0 հավասարման արմատ. Պատասխանը հիմնավորել։ ա) ոչ բ) այո

7. Արդյո՞ք 3-ը հանդիսանում է −6x+3=0 հավասարման ազատ անդամը: ա) այո բ) ոչ

8. 7, 2, −5, 0 թվերից որո՞նք են հետևյալ հավասարումների արմատ.
ա) x + 5 = 0,
x = -5
բ) 2x + 3 = 7,
x = 2
գ) 3x + 8 =8,
x = 0
9․ Տրված թվերից ո՞րն է 2x − 8 = 0 հավասարման արմատը:
ա) −4 բ) 2 գ) 4 դ) 8 ե) −2

10. Կազմել անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, եթե

ա) k= -3, b=5,
-3x + 5 = 0
բ) k=2, b=0,
2x + 0 = 0
գ) k=30 b=-20,
30x – 20 = 0
դ) b= -7,5, k=4
4x – 7,5 = 0

11․ Գտնել 3x -2 + 6 = 0 հավասարման արմատը․
3x – 2 + 6 = 0
3x = -4
x = -4/3

12. Լուծել հավասարումը.
ա) x + 4 = 0
x = -4
բ) 2a − 6 = 0
2a = 6
a = 6/2 = 3
գ) 8x = 40
x = 40/8 = 5
դ) 1/8x = 0,
չի լուծվում

13. Լուծե՛ք հավասարումը․
ա) x+4=9
x = 9 – 4 = 5
բ) x+5=5
x = 5 – 5 = 0
գ) 12x=0
x = 0/12 = 0
դ) -3x=0
x = 0/-3 = 0
ե) -x=0
x = 0/-1 = 0

Պարապմունք 38

Առաջադրանքներ

1․ Երկանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) x²+4x = x(x + 4)

բ) 6x²+2 = 2(3x² + 1)

գ) 40-8x² = 8(5 – x²)

դ) 14+8x³ = 2(7 + 4x³)

ե) 21x²-7x⁴ = 7x²(3 – x²)

զ) -3+12x = 3(4x – 1)

2․ Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերել փակագծերից.

ա) am-ank = a(m – nk)

բ) p²q³-p³q = p²q(q² – p)

գ) x³y⁴z³-xy³z²+x⁴y³z⁶ = xy³z²(x²yz – 1 + x³z⁴)

դ) 8p⁴q³— 4q³p- 6pq² = 2pq²(4p³q – 2q – 3)

ե) 3x²+8x⁴-12x = x(3x + 8x³ – 12)

զ) a²-4a+8a³ = a(a – 4 + 8a²)

3․ Բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) 16a²bc³-12ac³+28b²c²-8abc⁵ = 4c²(4a²bc – 3ac + 7b² – 2abc³)

բ) 12x²yz+18xy³z²-27x⁵z⁶-24xy⁴z⁴ = 3xz(4xy + 6y³z – 9x⁴z⁵ – 8y⁴z³)

4․ C և D տառերի փոխարեն ընտրել այնպիսի միանդամներ, որ տեղի ունենա հավասարությունը.

ա) 3a²b-9a³b⁵=C(1-3ab⁴), C = 3a²b

բ) 14m³x²+21m⁵x⁴=C(2+3m²x²), C = 7m³x²

գ) 6x²y³-D=3x²y(C-5x⁴y³), C = 2y², D = 15x⁶y⁴

դ) 4m³n²+C=D(2m²+3n⁴), D = 2mn², C = 6mn⁶

5․ Արտահայտությունը ներկայացնել արտադրյալի տեսքով.

ա) (a+b)a+(a+b)c=(a+b)(a+c)

բ) (a+b)x-(a+b)y=(a+b)(x – y)

գ) 2x(a+b)+(a+b)=(a+b)(2x + 1)

դ) (a+b)3x-2y(a+b)=(a+b)(3x – 2y):

6․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) 7m²-7 = 7(m² – 1)

բ)  x³-x = x(x² – 1)

գ) p¹⁰-p²q = p²(p⁸ – q)

դ) a³b-ab³ = ab(a²– b²)

7․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) a²b³-a²b-b³+b =a²b(b² – 1) – b(b² – 1) = (b² – 1) (a²b – b)

բ) 2a³-8ax²+a²x-4x³ = 2a(a² – 4x²) + x(a² – 4x²) = (a² – 4x²) (2a + x)

գ) 2y-y²-6x+9x² = y(2 – y) – 3x(2 – 3x)

դ) 4a²+15x-9x²+10a = 2a(2a + 5) + 3x(5 – 3x)

8․ Արտահայտությունը նախապես վերլուծելով արտադրիչների՝ հաշվել նրա արժեքը․

ա) 4²-3² = (4 + 3) (4 – 3) = 7

բ) 24²-23² = (24 + 23) (24 – 23) = 47

գ) 17²-3² = (17 + 3) (17 – 3) = 280

դ) 19²+2•19+1 = (19 + 1)² = 400

ե) 37²-2•37•7+49 = (37 – 7)² = 900

Պարապմունք 38

Առաջադրանքներ

1․ Երկանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) x²+4x = x (x+4)

բ) 6x²+2 = 2 (3x²+1)

գ) 40-8x² = 8 (5-x²)

դ) 14+8x³ = 2 (7+4x²)

ե) 21x²-7x⁴ = 7x² (3 – x²)

զ) -3+12x = 3(4x-1)

2․ Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերել փակագծերից.

ա) am-ank = a (m – nk)

բ) p²q³-p³q = p²q² (q-p)

գ) x³y⁴z³-xy³z²+x⁴y³z⁶ = xy³z² (x²yz – 1 + x³z⁴)

դ) 8p⁴q³— 4q³p- 6pq² = 2pq² (4p³q – 2q – 3)

ե) 3x²+8x⁴-12x = x (3x + 8x³ – 12)

զ) a²-4a+8a³ = a (a – 4 + 8a²)

3․ Բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների.

ա) 16a²bc³-12ac³+28b²c²-8abc⁵ = 4ac³ (4ab – 30 ) + 4bc² (7b – 2ac³)

բ) 12x²yz+18xy³z²-27x⁵z⁶-24xy⁴z⁴ = 3xz (4xy + 6y³z – 9x⁴z⁵ – 8x³z³)

+4․ C և D տառերի փոխարեն ընտրել այնպիսի միանդամներ, որ տեղի ունենա հավասարությունը.

ա) 3a²b-9a³b⁵= C(1-3ab⁴), c = 3a²b

բ) 14m³x²+21m⁵x⁴=C(2+3m²x²), c = 7m³x²

գ) 6x²y³-D=3x²y(C-5x⁴y³), C=2y² , D = 15x⁶y⁴

դ) 4m³n²+C=D(2m²+3n⁴), D = 2mn² , C = 6mn⁶

5․ Արտահայտությունը ներկայացնել արտադրյալի տեսքով.

ա) (a+b)a+(a+b)c=(a+b)(a+c)

բ) (a+b)x-(a+b)y=(a+b)(x – y)

գ) 2x(a+b)+(a+b)=(a+b)(2x + 1)

դ) (a+b)3x-2y(a+b)=(a+b)(3x – 2y):

6․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) 7m²-7 = 7(m² – 1)

բ)  x³-x = x(x² – 1)

գ) p¹⁰-p²q = p²(p⁸ – q)

դ) a³b-ab³ = ab(a² – b²)

7․ Վերլուծել արտադրիչների.

ա) a²b³-a²b-b³+b = a²b(b² – 1) – b(b² – 1) = (b² – 1) (a²b – b)

բ) 2a³-8ax²+a²x-4x³ = 2a(a² – 4x²) + x(a² – 4x²) = (a² – 4x²) (2a + x)

գ) 2y-y²-6x+9x² = y(2 – y) – 3x(2 – 3x)

դ) 4a²+15x-9x²+10a = 2a(2a + 5) + 3x(5 – 3x)

8․ Արտահայտությունը նախապես վերլուծելով արտադրիչների՝ հաշվել նրա արժեքը․

ա) 4²-3² = (4 + 3)(4 – 3) = 7

բ) 24²-23² = (24 + 23)(24 – 23) = 47

գ) 17²-3² = (17 + 3)(17 – 3) = 280

դ) 19²+2•19+1 = (19 + 1)² = 400

ե) 37²-2•37•7+49 = (37 – 7)² = 900

Պարապմունք 36

Առաջադրանքներ։

1. Գրել.

ա) a-ի և b-ի տարբերությունը,

a-b

բ) a-ի և b-ի տարբերության քառակուսին,

(a-b)²

գ) a-ի և b-ի քառակուսիների տարբերությունը,

a² – b²

դ) a-ի խորանարդի և b-ի գումարը

a³ + b

ե)a-ի և b-ի գումարի խորանարդը

(a + b)³

զ) a-ի և b-ի խորանարդի տարբերությունը

a – b³

է) a-ի և b-ի տարբերության խորանարդը:

(a – b)³

2․ Արտահայտությունը գրել բազմանդամի տեսքով.

ա) (x-y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

բ) (2-a)³ = 8 – 12a + 6a² – a³

գ) (y-3)³ = y³ – 9y² + 27y + 27

դ) (2a-1)³ = 8a³ – 12a² + 6a1 + 1

ե) (3b-4)³ = 27b³ – 108b² + 144b – 64

զ) (1-5z)³ = 1 – 15z + 75z² + 125z³

3․ Արտահայտությունը գրել բազմանդամի տեսքով.

ա) (2x-1)³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1

բ) (2-a)³ = 8 – 12a + 6a² – a³

գ) (3-2b)³ = 27 – 54b + 36b² – 8b³

դ) (1-y)³: = 1 – 3y + 3y² – y³

4․ Արտահայտությունը բերել բազմանդամի կատարյալ տեսքի.
ա) (a − b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
բ) (c − 4d)³ = c³ – 12c²d + 48cd² + 64d³ 
գ) (x − 2)³ = x3 – 6x² + 12x – 8
դ) (3m − 2n)³ = 27m³ – 54m²n + 36mn² – 8n³
ե) (3x − y )³, = 27x³ – 27x²y + 9xy² – y³
զ) (k − 1)³ = k³ – 3k² + 3k1 – 1

5․ Հանդիսանու՞մ է, արդյոք, բազմանդամը մի որևէ երկանդամի խորանարդ.

ա) 1 – 3x + 3x² – x³
(1-x)³

բ) a3-6a²+12a-8

(a – 2)³

գ) 8a³-36a²b+54ab²-27b³:

(2a – 3b)³

6․ Արտահայտությունը պարզեցնել երկու եղանակով․

ա) (x-1)³ — (x+1)³
(x³ – 3x² + 3x – 1) – (x³ + 3x² + 3x + 1) = -6x² – 2
(x-1 – x-1)((x-1)² + (x+1)² + (x-1)(x+1)) = -2(x² – 2x + 1 + x² + 2x + 1 + x² – 1) = -2 (3x² + 1) = -6x² -2
բ) (x+2)³ + (x-2)³
(x³ + 6x² + 12x + 8) + (x³ – 6x² + 12x – 8) = 2x³ + 24x

Պարապմունք 35

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրել

1. a+b
2. (a+b)²
3. (a+b)³
4. a²+b²
5. a³+b³
6. 2ab
7. 3ab
8. 3a²b
9. (a²+b²)3

2․ Արտահայտությունը գրել բազմանդամի տեսքով․

a ³ + 3a ² b + 3ab² + b³

a3 + 12a² + 48a + 64

8a³ + 12a²b + 6a + 1

8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b

x⁶ + 9x⁴z + 27x²z² + 27z³

8b²¹ + 12b¹⁴3 + 54b⁷ + 27

3․Արտահայտությունը բերե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքի.
ա) (x + y )³ = x ³ + 3x ² y + 3xy² + y³:
բ) (2x + 5y )³ =8x ³ + 60x ² y + 150xy² + 125y³:
գ) (a + 3)³ = a³ + 9a² + 27a + 27
դ) (1 + z )³ = 1 + 3z + 3z² + z³
ե) (2a + b)³ = 8a³ + 12a²b + 2ab² + b³
զ) (5 + 2t)³ = 125 + 150t + 60b² + 8t³
4․Արտահայտությունը գրե՛ք գումարի կամ տարբերության խորանարդի
տեսքով.
ա) x ³ + 3x ² + 3x + 1= (x + 1)³
բ) a ³ + 3a ² x + 3a x ² + x ³ = (a + x)³
գ) 1 + 6c + 12c ² + 8c³ = (1 + 2c)³
դ) a ³ + 6a ² b + 12ab² + 8b³ = (a + 2b)³
ե) 27x ³ + 27x ² y + 9x y ² + y ³ = (3x + y)³
զ) 8x ³ − 36x ² y + 54x y ² −27y ³ = (2x – 3y)³
5․ Պարզեցնել արտահայտությունը․

x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ – 6x² – 12x – 8 = 3x² + 15x + 19

x³ + 3x² + 3x + 1 – 27 – 27x - 3x² – x³ = -24x – 26

6․Աստղանիշների փոխարեն գրե՛ք այնպիսի միանդամներ, որ ստացված բազմանդամը հնարավոր լինի գրել գումարի խորանարդի տեսքով.
ա) x ³ + 3x²y + 3x y ² + y³
բ) 8 + 12a + 6a² + a³
գ) x³  + 9x ² + 27x  + 27
դ) 8x ³ + 12x ² y + 6xy² + y³
ե) 27a ³ + 54a²b  + 36ab²  + 8b³ 
զ) 8a ³ + 4a ² b + 6ab²  + b³

Պարապմունք 34

1. Բազմանդամը վերլուծել արտադրիչների կիրառելով խորանարդների գումարի և տարբերության բանաձևերը:

1. p³ + q³ = (p + q) (p² – pq + q²)
2. p³ – q³ = (p – q) (p² + pq + q²)
3. a³ + 8 = (a + 2) (a² – 2a + 4)
4. b³ – 27 = (b – 3) (b² + 3b + 9)
5. (y³ + 1) = (y + 1) (y2 – y + 1)
6. x³ – 8 = (x – 2) (x² + 2x + 4)
7. (p³ + 1) = (p + 1) (p² – p + 1)
8. m³ + 64 = (m + 4) (m² – 4m + 16)
9. 1 – q³ = (1 – q) (1 + q + q²)
10. 1+c³ = (1 + c) (1 – c + c²)
11. 1-8a³ = (1 – 2a) (1 + 2a + 4a²)
12. 27 – 8x³ = (3 – 2x) (9 + 6x + 4x²)
13. 8a³ + b³ = (2a + b) (4a² – 2ab + b²)
14. 27x³ – 8y³ = (3x – 2y) (9x² + 6xy + 4y²)
15. 125b⁶ + 216 = (5b² + 6) (25b⁴ – 30b² + 36)
16. 343a⁶ – 64b³ = (7a² – 4b) (49a⁴ + 28a²b + 16b²)
17. 1/64x³ – 1/27 = (1/4x – 1/3) (1/16x² + 1/12x + 1/9)
18. 0.008m⁶ – 0.027n⁶ = (0.2m² – 0.3n²) (0.04m⁴ + 0.06m²n² + 0.09n⁴)

 2. Արտահայտությունը բերել բազմանդամի կատարյալ տեսքի.

1. 27p³ – 1000q³
2. 343m³ + 8n³
3. a³b³ – 27
4. k³m³ – n⁶
5. 1/8x³ + 8y³
6. 0.008p³ – 1.331q³
7. 1/27m⁶ – 27n³k³
8. 1 1/8 a⁹ – 0.125b⁶

3. A,B և C միանդամներն ընտրել այնպես, որտեղի ունենա հավասարությունը:

1. A = n³, B = n
2. A = 5, B = 125
3. A = 4x², B = 6xy, C = 9y²
4. A = 16a², B = 12ab, C = 9b²–

4. Վերլուծե՛ք արտադրիչների.
ա) a ⁹ + b⁶ = (a³ + b²)(a⁶ – a³b² + b⁴)
դ) b³ + 729 = (b + 9)(b² – 9b + 81)
է) 125x¹² + 27 = (5x⁴ + 3)(25x⁸ – 15x⁴ + 9) 
բ) x ³ + 216 = (x + 6)(x² – 6x + 36) 
ե) 8c⁹ + 125 = (2c³ + 5)(4c⁶ – 10c³ + 25)
ը) 512 + z³ = (8 + z)(64 – 8z + z²)  
գ) 27a ³ + 1 = (3a + 1)(9a² – 3a + 1)
զ) 64a ⁶ + b¹⁵ = (4a² + b⁵)(16a⁴ – 4a²b⁵ + b¹⁰)
թ) a ¹⁸ b³⁰ + 1 = (a⁶ b¹⁰ + 1)(a¹² b²⁰ – a⁶b¹⁰ + 1)

5. Աստղանիշները փոխարինել այնպիսի միանդամներով, որ ստացվի
նույնություն.
ա) (a  − y)( a ² + ay  + y ²) = a ³ − y ³,  
բ) a³ − b⁶ = (a − b²)( a ² + ab² + b⁴),
գ) a ³ + 8b³ = (a  + 2b)( a ² − 2ab  + 4b²),
դ) x ⁹− y⁶  = ( x ³− y² )(  +  x ³ y ² + y ⁴)։

6.Ապացուցե՛ք, որ.
ա) 31³ − 17³ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 14-ի,
31-17 = 14
բ) 64³ − 49³ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 15-ի,
64 – 49 = 15
գ) 71³ − 1331 թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 60-ի,
71 – 11 = 60
դ) 45³ − 25³ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է 100-ի։
45 – 25 = 20, 45² + 45*25 + 25² – վերջանում է 5-ով 20 * 5 = 100

7.Ապացուցե՛ք, որ թիվը բաղադրյալ է.
ա) 4¹⁵ − 125 - բաժանվում է (4⁵ – 5)
բ) 42²⁴ +24⁴² – բաժանվում է (42⁸ + 24¹⁴)  
գ) 31⁶ − 64 – բաժանվում է (31² – 4)
դ) 4³⁰ + 1 – բաժանվում է (4¹⁰ + 1)

Պարապմունք 32

Մինչ այժմ դիտարկած գումարի քառակուսի, տարբերության քառակուսի և քառակուսիների տարբերություն բանաձևերում առկա էր միանդամների քառակուսին։
Կան նաև բանաձևեր, որոնցում մասնակցում է միանդամի խորանարդը։ Այդ բանաձևերի ուսումնասիրությունը կսկսենք խորանարդների գումարի բանաձևից.
a ³ + b³ = (a + b)( a ² − ab + b²):
Այս բանաձևի ճշմարտացիությունը ստուգելու համար պարզապես բանաձևի աջ
մասում բացենք արտադրյալի փակագծերը և նման անդամները միացնենք.
(a + b)(a ² − ab + b²) = a ⋅ a ² − a ⋅ ab + a ⋅ b² + b ⋅ a ² − b ⋅ ab + b ⋅ b² =
a ³ − a ² b + ab² + a ² b − ab² + b³ = a ³ + b³:
Նկատենք, որ a ² − ab + b² արտահայտությունը նման է a և b միանդամների
տարբերության քառակուսու բանաձևին, պարզապես երկրորդ գումարելիում
բացակայում է 2 արտադրիչը։ Նմանության պատճառով a ² − ab + b² անվանում են
a–ի և b–ի տարբերության թերի քառակուսի։
Երկու միանդամների խորանարդների գումարը հավասար է այդ միանդամների
գումարի և նրանց տարբերության թերի քառակուսու արտադրյալին.
a ³ + b³ = (a + b)(a ² − ab + b²):
ՕՐԻՆԱԿ 1
x ³ + 8 վերլուծենք արտադրիչների։
ԼՈՒԾՈՒՄ։ x ³ + 8 = x ³ + 2³ = (x + 2)(x ² − 2 ⋅ x + 2²) = (x + 2)(x ² − 2x + 4):
ՕՐԻՆԱԿ 2
a ⁶ + 27 վերլուծենք արտադրիչների։
ԼՈՒԾՈՒՄ։
a ⁶ + 27 = (a ²)³ + 3³ = (a ² + 3)((a ²)² − 3 ⋅ a ² + 3²) = (a ² + 3)(a ⁴ − 3a ² + 9)։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գրառել խորանարդների գումարի բանաձը։

2․ Գրառել

3․Արտահայտությունը բերե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքի.
ա) (x + y)( x ² − xy + y ²),
բ) (3a + b)(9a ² − 3ab + b²),
գ) (b + 5)(25 − 5b + b²),
դ) (2m + n)(4m² − 2mn + n ²),
ե) (a + 2)(a ² − 2a + 4),
զ) (1 + x ²)( x ⁴ + 1 − x ² )

4․ Արտահայտությունը բերե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքի.

5․ Արտահայտությունը ներկայացնել 3 ցուցիչով աստիճանի տեսքով։

6․ Վերլուծե՛ք արտադրիչների.
ա) a ³ + b³,   բ) b³ + 64,  գ) 125x ³ + 27,  դ) x ³ + 8,  ե) 8c³ + 125,
զ) 512 + z ³,   է) 27a ³ + 1,  ը) 64a ³ + b³,   թ) a ³ b³ + 1։

7․Երկանդամը վերլուծել արտադրիչների․

ա) n ³ + 1,   բ) m ⁶ + 64,  գ) x ³ + 8,   դ) a ³ + 125,   ե) c ³ + 27։